Solucionario Ejercicio 85. de Algebra de Baldor.
PROBLEMAS SOBRE ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA.
EJERCICIO 85.
Las siguientes líneas e imágenes muestran paso a paso, como resolver los 14 problemas planteados en el Ejercicio 85.
Ejercicio 85-1. La suma de dos números es 100 y el doble del mayor equivale al triple del menor. Hallar los números.
Ejercicio 85-1. Solución:
Sea x el número mayor.
Como la suma de ambos números es 100, entonces:
100 - x es el número menor
Además, el doble del mayor equivale al triple del menor, es decir:
2x = 3(100 - x)
Resolviendo la anterior ecuación, tenemos:
Reemplazando x = 60 en 100 - x, tenemos:
100 - x = 100 - 60 = 40
Por tanto, el número mayor es: 60 y el número menor es 40
Ejercicio 85-2. Las edades de un padre y su hijo suman 60 años. Si la edad del padre se disminuyera en 15 años se tendría el doble de la edad del hijo. Hallar ambas edades.
Ejercicio 85-2. Solución:
Sea x la edad del padre.
Como las edades del padre y su hijo suman 60 años, entonces:
60 - x es la edad del hijo.
Además, si la edad del padre se disminuyera en 15 años se tendría el doble de la edad del hijo, significa que:
x - 15 = 2(60 - x)
Resolviendo la anterior ecuación, tenemos:
Reemplazando x = 45 en 60 - x, tenemos:
60 - x = 60 - 45 = 15 es la edad del hijo
Por tanto: la edad del padre es 45 años y la del hijo es 15 años
Ejercicio 85-3. Dividir 1,080 en dos partes tales que la mayor disminuida en 132 equivalga a la menor aumentada en 100.
Ejercicio 85-3. Solución:
Sea x la parte mayor
Al dividir 1,080 en dos partes, estas partes deben sumar 1,080, entonces:
1,080 - x es la parte menor
Además, el problema indica que: “la parte mayor disminuida en 132 equivale a la menor aumentada en 100”, lo cual podemos expresar de la siguiente manera:
x - 132 = (1,080 - x) + 100
Resolviendo la anterior ecuación, tenemos:
Reemplazando x = 656 en 1,080 - x, tenemos:
1,080 - x = 1,080 - 656 = 424 es la parte menor
Por tanto, la parte mayor es 656 y la parte menor 424
Ejercicio 85-4. Entre A y B tienen 150 nuevos soles. Si A pierde 46, lo que le queda equivale a lo que tiene B. ¿Cuánto tiene cada uno?.
Ejercicio 85-4. Solución:
Sea x lo que tiene A
Si A pierde 46, lo que le queda equivale a lo que tiene B, es decir:
x - 46 es lo que tiene B
Además, como entre A y B tienen 150 nuevos soles, tenemos que:
x + (x - 46) = 150
Resolviendo la anterior ecuación, tenemos:
Reemplazando x = 98 en x - 46, tenemos:
x - 46 = 98 - 46 = 52
Entonces: A tiene 98 nuevos soles y B tiene 52 nuevos soles
Ejercicio 85-5. Dos ángulos suman 180 grados y el doble del menor excede en 45 grados al mayor. Hallar los ángulos.
Ejercicio 85-5. Solución:
Sea x el valor del ángulo menor
El doble del menor excede en 45 grados al mayor, entonces el mayor es 45 grados menos que el doble del menor, es decir:
2x - 45 es el ángulo del mayor
Como los dos ángulos suman 180 grados, tenemos:
x + (2x - 45) = 180
Resolviendo la anterior ecuación, tenemos:
Reemplazando x = 75 en 2x - 45, tenemos:
2x + 45 = 2(75) - 45 = 105 es el valor del ángulo mayor
Entonces: el ángulo menor es de 75 grados y el ángulo mayor es de 105 grados
Ejercicio 85-6. La suma de dos números es 540 y el mayor excede al triple del menor en 88. Hallar los números.
Ejercicio 85-6. Solución:
Sea x el número menor
El mayor excede al triple del menor en 88, es decir:
3x + 88 es el número mayor
Además, la suma de los dos números es 540, por tanto:
x + (3x + 88) = 540
Resolviendo la anterior ecuación, tenemos:
Reemplazando x = 113 en 3x + 88, tenemos:
3x + 88 = 3(113) + 88 = 427
Por tanto, el número menor es 113 y el mayor 427
Ejercicio 85-7. La diferencia de dos números es 36. Si el mayor se disminuye en 12, se tiene el cuádruple del menor. Hallar los números.
Ejercicio 85-7. Solución:
Sea x el número mayor
Si el mayor se disminuye en 12, se tiene el cuádruple del menor, entonces:
Si x - 12 es el cuádruple del menor, entonces (x-12)/4 es el número menor.
Además, como la diferencia de los dos números es 36, tenemos:
x - (x - 12)/4 = 36
Resolviendo la anterior ecuación, tenemos:
Reemplazando x = 44 en (x - 12)/4, entonces:
(x - 12)/4 = (44 - 12)/4 = 32/4 = 8 es el número menor
Por tanto, el número mayor es 44 y el menor es 8
Ejercicio 85-8. Un perro y su collar han costado $54, y el perro costó 8 veces lo que el collar. ¿Cuánto costó el perro y cuanto el collar?
Ejercicio 85-8. Solución:
Sea x el costo del collar
El perro costó 8 veces lo que el collar, es decir: 8x es el precio del perro
Además, como el perro y su collar han costado $54, tenemos:
x + 8x = 54
Resolviendo la anterior ecuación, tenemos:
Reemplazando x = 6 en 8x, tenemos:
8x = 8(6) = 48 es el precio del perro
Entonces: el precio del collar es $6 y el precio del perro es $48
Ejercicio 85-9. Entre A y B tienen $84. Si A pierde $16 y B gana $20, ambos tienen lo mismo. ¿Cuánto tiene cada uno?.
Ejercicio 85-9. Solución:
Sea x lo que tiene A
Como entre A y B suman $84, entonces lo que tiene B es 84 - x
Además, si A pierde $16 y B gana $20, ambos tienen lo mismo, esto significa que:
x - 16 = (84 - x) + 20
Resolviendo la anterior ecuación, tenemos:
Reemplazando x = 60 en 84 - x, tenemos:
84 - x = 84 - 60 = 24 es lo que tiene B
Por tanto: A tiene $60 y B tiene $24
Ejercicio 85-10. En una clase hay 60 alumnos entre jóvenes y señoritas. El número de señoritas excede en 15 al doble de los jóvenes. ¿Cuántos jóvenes hay en la clase y cuántas señoritas?
Ejercicio 85-10. Solución:
Sea x el número de jóvenes
El número de señoritas excede en 15 al doble de los jóvenes, entonces:
2x + 15 es el número de señoritas
Como en la clase hay 60 alumnos, entonces el número de jóvenes más el número de señoritas debe ser de 60 alumnos, por tanto:
x + (2x + 15) = 60
Resolviendo la anterior ecuación tenemos:
Reemplazando x = 15 en 2x + 15, tenemos:
2x + 15 = 2(15) + 15 = 45
Por tanto, el número de jóvenes es 15 y el de señoritas 45
Ejercicio 85-11. Dividir 160 en dos partes tales que el triple de la parte menor disminuido en la parte mayor equivalga a 16.
Ejercicio 85-11. Solución:
Sea x la parte menor
Como la suma de las partes el 160, entonces la parte mayor es: 160 - x
Además, “el triple del parte menor disminuido en la parte mayor equivale a 16”, se escribe:
3x - (160 - x) = 16
Resolviendo la anterior ecuación tenemos:
Reemplazando x = 44 en 160 - x, tenemos:
160 - x = 160 - 44 = 116 es la parte mayor
Por tanto, la parte menor es 44 y la parte mayor es 116
Ejercicio 85-12. La suma de dos números es 506 y el triple del menor excede en 50 al mayor aumentado en 100. Hallar los números.
Ejercicio 85-12. Solución:
Sea x el número menor
Como la suma de los dos números es 506, entonces:
506 - x es el número mayor
Si el triple del menor excede en 50 al mayor aumentado en 100, entonces el triple del menor 3x es igual al mayor aumentado en 100 más 50, es decir:
3x = ((506 - x) + 100) + 50
Resolviendo la anterior ecuación, tenemos:
Reemplazando x = 164 en 506-x, tenemos:
506 - x = 506 - 164 = 342 es el número mayor
Entonces: el número menor es 164 y el mayor es 342
Ejercicio 85-13. Una estilográfica y un lapicero han costado 18,000 bolívares. Si la estilográfica hubiera costado 6,000 bolívares menos y el lapicero 4,000 bolívares más, habrían costado lo mismo. ¿Cuánto costó cada uno?
Ejercicio 85-13. Solución:
Sea x el costo de la estilográfica
Como el costo de la estilográfica y el lapicero suman 18,000 bolívares, entonces:
El costo del lapicero es 18,000 - x
Además, si la estilográfica hubiera costado 6,000 bolívares menos y el lapicero 4,000 bolívares más, habrían costado lo mismo, es decir:
x - 6,000 = (18,000 - x) + 4,000
Resolviendo la anterior ecuación tenemos:
Reemplazando x = 14,000 en 18,000 - x, tenemos:
18,000 - x = 18,000 - 14,000 = 4,000 es el costo del lapicero
Por tanto, el costo de la estilográfica es 14,000 bolívares y el costo del lapicero es 4,000 bolívares
Ejercicio 85-14. Una varilla de 84 cm de longitud está pintada de rojo y negro. La parte roja es 4 cm menor que la parte pintada de negro. Hallar la longitud de cada parte.
Ejercicio 85-14. Solución:
Sea x la longitud de la parte pintada de negro
Como la parte roja es 4 cm menor que la parte negra, entonces:
x - 4 es la longitud de la parte pintada de rojo
Además, como la varilla mide 84 cm, entonces la suma de las longitudes de las partes roja y negra deben sumar 84 cm, es decir:
x + (x - 4) = 84
Resolviendo la anterior ecuación tenemos:
Reemplazando x = 44 en x - 4 tenemos que:
x - 4 = 44 - 4 = 40 es la longitud de la parte roja
Por tanto, la longitud de la parte negra es 44 cm y la longitud de la parte roja es 40 cm