Solucionario Ejercicio 84. de Algebra de Baldor.
PROBLEMAS SOBRE ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA.
EJERCICIO 84.
Las siguientes líneas e imágenes muestran paso a paso, como resolver los 15 problemas planteados en el Ejercicio 84.
Ejercicio 84-1. Dividir 254 en tres partes tales que la segunda sea el triple de la primera y 40 unidades mayor que la tercera.
Ejercicio 84-1. Solución:
Sea x la primera parte, entonces:
3x es la segunda parte, por ser el triple de la primera parte
La segunda parte es 40 unidades mayor que la tercera, entonces: la tercera parte es 40 unidades menos que la segunda parte, por tanto: 3x - 40 es la tercera parte.
Como 254 es la cantidad que se divide en tres partes, la suma de estas partes de ser 254, por tanto:
x + 3x + (3x - 40) = 254
Resolviendo la anterior ecuación, tenemos:
Reemplazamos x = 42 en 3x y en 3x - 40, entonces:
3x = 3(42) = 126
3x - 40 = 3(42) - 40 = 86
Por tanto, la primera parte es de 42 unidades, la segunda de 126 unidades y la tercera de 86 unidades
Ejercicio 84-2. Entre A, B y C tienen 130 balboas. C tiene el doble de lo que tiene A y 15 balboas menos que B. ¿Cuánto tiene cada uno?
Ejercicio 84-2. Solución:
Sea x las balboas que tiene A
2x es lo que tiene C, por tener el doble que tiene A.
Como C tiene 15 balboas menos que B, entonces B tiene 15 balboas más que C, es decir: 2x + 15 es lo que tiene B.
Además, entre A, B y C tienen 130 balboas, esto significa que:
x + (2x + 15) + 2x = 130
Resolviendo la anterior ecuación, tenemos:
Reemplazando x = 23 en 2x y en 2x + 15, tenemos:
2x = 2(23) = 46
2x + 15 = 2(23) + 15 = 61
Por tanto, A tiene 23 balboas , B 61 balboas y C 46 balboas
Ejercicio 84-3. La suma de tres números es 238. El primero excede al doble del segundo en 8 y al tercero en 18. Hallar los números.
Ejercicio 84-3. Solución:
Sea x el segundo número, entonces:
2x + 8 es el primer número porque excede al doble del segundo en 8
Como el primero excede al tercero en 18, entonces el tercer número es 18 unidades menos que el primero, es decir: (2x + 8) - 18 es el tercer número
Además, la suma de los tres números es 238, entonces:
(2x + 8) + x + [(2x + 8) - 18] = 238
Resolviendo la anterior ecuación tenemos:
Reemplazando x = 48 en 2x + 8 y en (2x + 8) - 18, tenemos:
2x + 8 = 2(48) + 8 = 104 es el primer número
(2x + 8) - 18 = (2(48) + 8) -18 = 86 es el tercer número
Por tanto, los 3 números son: 104, 48 y 86
Ejercicio 84-4. Se ha comprado un traje, un bastón y un sombrero por $259. El traje costó 8 veces lo que el sombrero y el bastón $30 menos que el traje. Hallar los precios respectivos.
Ejercicio 84-4. Solución:
Sea x el precio del sobrero, entonces:
8x es el precio del traje, porque costó 8 veces lo que el sombrero
8x - 30 es el precio del bastón, porque costó $30 menos que el traje.
Como el traje, el bastón y el sombrero se compraron por $259, entonces la suma de los precios del sombrero, del traje y del bastón deben sumar $259, es decir:
x + 8x + (8x - 30) = 259
Resolviendo la anterior ecuación, tenemos:
Reemplazando x = 17 en 8x y en 8x - 30, tenemos:
8x = 8(17) = 136
8x - 30 = 8(17) - 30 = 106
Por tanto, el precio del sombrero es $17, el precio del traje $136 y el precio del bastón es $106
Ejercicio 84-5. La suma de tres números es 72. El segundo es 1/5 del tercero y el primero excede al tercero en 6. Hallar los números.
Ejercicio 84-5. Solución:
Sea x el tercer número, entonces:
(1/5)x es el segundo número, por ser 1/5 del tercero.
x + 6 es el primer número, porque excede al tercero en 6
Como la suma de los tres números es 72, tenemos:
(x + 6) + (1/5)x + x = 72
Resolviendo la anterior ecuación, tenemos:
Reemplazando x = 30 en (1/5)x y en x + 6, tenemos:
(1/5)x = 1/5 (30) = 6 es el segundo número
x + 6 = 30 + 6 = 36 es el primer número
Entonces los números son: 36, 6 y 30
Ejercicio 84-6. Entre A y B tienen 99 bolívares. La parte de B excede al triple de la de A en 19. Hallar la parte de cada uno.
Ejercicio 84-6. Solución:
Sea x la parte de A, entonces:
3x + 19 es la parte de B, porque excede al triple de la parte de A en 19
Como entre A y B tienen 99 bolívares, entonces la suma de las partes de A y B es 99 bolívares, es decir:
x + (3x + 19) = 99
Resolviendo la anterior ecuación, tenemos:
Reemplazando x = 20 en 3x + 19, tenemos:
3x + 19 = 3(20) + 19 = 79 es la parte de B
Por tanto, la parte de A es: 20 bolívares y la parte de B: 79 bolívares
Ejercicio 84-7. Una varilla de 74 cm de longitud se ha pintado de azul y blanco. La parte pintada de azul excede en 14 cm al doble de la parte pintada de blanco. Hallar la longitud de la parte pintada de cada color.
Ejercicio 84-7. Solución:
Sea x la parte pintada de blanco, entonces:
2x + 14 es la parte pintada de azul, porque excede en 14 cm al doble de la parte pintada de blanco.
Como la varilla es de 74 cm y se ha pintado de azul y blanco, entonces las longitudes pintadas de azul y blanco, deben sumar 74 cm, es decir:
x + (2x + 14) = 74
Resolviendo la anterior ecuación, tenemos:
Reemplazamos x = 20 en 2x + 14, entonces:
2x + 14 = 2(20) + 14 = 54 es la parte pintada de azul
Por tanto, la parte pintada de blanco mide 20 cm y la parte pintada de azul mide 54 cm
Ejercicio 84-8. Repartir $152 entre A, B y C de modo que la parte de B sea $8 menos que el doble de la de A y $32 más que la de C.
Ejercicio 84-8. Solución:
Sea x la parte de A
La parte de B es $8 menos que el doble de la de A, es decir: 2x - 8 es la parte de B.
Además, la parte de B es $32 más que la de C, entonces la parte C es $32 menos que la parte de B, es decir: (2x - 8) - 32
Como la cantidad repartida es $152, las partes de A, B y C deben sumar $152, por tanto:
x + (2x - 8) + [(2x - 8) - 32] = 152
Resolviendo la anterior ecuación, tenemos:
Reemplazando x = 40 en 2x - 8 y en (2x - 8) - 32, tenemos:
2x - 8 = 2(40) - 8 = 72 es la parte de B
(2x - 8) - 32 = (2(40) - 8) - 32 = 40 es la parte de C
Por tanto, la parte de A es: $40, la parte de B es: $72 y la de C es: $40
Ejercicio 84-9. El exceso de un número sobre 80 equivale al exceso de 220 sobre el doble del número. Hallar el número.
Ejercicio 84-9. Solución:
Sea x el número
El exceso de x sobre 80 es: x - 80
El exceso de 220 sobre el doble de x es: 220 - 2x
Entonces como el exceso de x sobre 80 equivale al exceso de 220 sobre 2x, tenemos:
x - 80 = 220 - 2x
Resolviendo la anterior ecuación, tenemos:
Por tanto, el número es 100.
Ejercicio 84-10. Si me pagaran 60 sucres tendría el doble de lo que tengo ahora más 10 sucres. ¿Cuánto tengo?
Ejercicio 84-10. Solución:
Sea x la cantidad de sucres que tengo
Si me pagaran 60 sucres tendría el doble de lo que tengo más 10 sucres, es decir:
x + 60 = 2x + 10
Resolviendo la anterior ecuación tenemos:
Por tanto, tengo 50 sucres
Ejercicio 84-11. La asta de una bandera de 9.10 m de altura se ha partido en dos. La parte separada tiene 80 cm menos que la otra parte. Hallar la longitud de ambas partes de la asta.
Ejercicio 84-11. Solución:
Sea x una parte de la asta
La parte separada tiene 80 cm menos que la otra parte, es decir: x - 80
Entonces como la longitud de la asta es de 9.10 m, entonces la suma de las longitudes de las partes debe sumar 9.10 m o 910 cm. por tanto:
x + (x - 80) = 910
Resolviendo la anterior ecuación tenemos:
Reemplazado x = 495 en x - 80, tenemos:
x - 80 = 495 - 80 = 415 es la longitud en cm de la otra parte
Por tanto, la longitud de una parte de la asta mide 495 cm y la otra 415 cm
Para tener el resultado en metros, dividimos entre 100 cm. las anteriores longitudes, dando como resultado que la longitud de una parte de la hasta mide 4.95 m y la otra 4.15 m.
Ejercicio 84-12. Las edades de un padre y su hijo suman 83 años. La edad del padre excede en 3 años al triple de la edad del hijo. Hallar ambas edades.
Ejercicio 84-12. Solución:
Sea x la edad del hijo
El triple de la edad del hijo es 3x
Como la edad del padre excede en 3 años al triple de la edad del hijo, 3x + 3 es la edad del padre.
Como las edades del padre y su hijo suman 83 años, entonces:
x + (3x + 3) = 83
Resolviendo la anterior ecuación, tenemos:
Reemplazando x = 20 en 3x + 3, tenemos:
3x + 3 = 3(20) + 3 = 63 es la edad del padre
Por tanto, la edad del padre es 63 años y la del hijo es 20 años
Ejercicio 84-13. En una elección en que había 3 candidatos A, B y C se emitieron 9,000 votos. B obtuvo 500 votos menos que A y 800 votos más que C. ¿Cuántos votos obtuvo el candidato triunfante?
Ejercicio 84-13. Solución:
Sea x los votos de A
Como B obtuvo 500 votos menos que A, entonces x - 500 son los votos de B.
Además, como B obtuvo 800 votos más que C, esto significa que C tiene 800 votos menos que B, es decir que (x - 500) - 800 son los votos de C.
Como la cantidad de votos que se emitieron es 9,000 votos, entonces la suma de los votos de A, B y C debe ser igual a 9,000 votos, entonces:
x + (x - 500) + ((x - 500) - 800) = 9,000
Resolviendo la anterior ecuación tenemos:
Reemplazando x = 3,600 en x - 500 y en (x - 500) - 800, tenemos:
x - 500 = 3,600 - 500 = 3,100 son los votos de B
(x - 500) - 800 = (3,600 - 500) - 800 = 2,300 son los votos de C
Por tanto: el candidato triunfante es A y obtuvo 3,600 votos
Ejercicio 84-14. El exceso de 8 veces un número sobre 60 equivale al exceso de 60 sobre 7 veces el número. Hallar el número.
Ejercicio 84-14. Solución:
Sea x el número buscado
El exceso de 8 veces x sobre 60 es: 8x - 60
El exceso de 60 sobre 7 veces el número es: 60 - 7x
Entonces, como el exceso de 8 veces un número sobre 60 equivale al exceso de 60 sobre 7 veces el número, tenemos:
8x - 60 = 60 - 7x
Resolviendo la anterior ecuación tenemos:
Entonces el número buscado es 8
Ejercicio 84-15. Preguntando a un hombre por su edad, responde: Si al doble de mi edad se quitan 17 años, se tendría lo que me falta para tener 100 años. ¿Qué edad tiene el hombre?
Ejercicio 84-15. Solución:
Sea x la edad del hombre
100 - x es la cantidad de años que me falta para tener 100 años
El problema indica: "Si al doble de mi edad se quitan 17 años, se tendría lo que me falta para tener 100 años", es decir:
2x - 17 = 100 - x
Resolviendo la anterior ecuación, tenemos:
Por tanto, la edad del hombre es 39 años