Solucionario Ejercicio 86. de Algebra de Baldor.
PROBLEMAS SOBRE ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA.
EJERCICIO 86.
Las siguientes líneas e imágenes muestran paso a paso, como resolver los 13 problemas planteados en el Ejercicio 86.
Ejercicio 86-1. La edad actual de A es doble que la de B, y hace 10 años la edad de A era el triple de la de B. Hallar las edades actuales.
Ejercicio 86-1. Solución:
Sea x la edad actual de B
La edad actual de A es doble que la de B, es decir: 2x es la edad actual de A
x - 10 era la edad de B hace 10 años y la edad de A era 2x - 10, entonces como el problema indica que hace 10 años la edad de A era el triple de la de B, tenemos:
2x - 10 = 3(x - 10)
Resolviendo la anterior ecuación, tenemos:
Reemplazando x = 20 en 2x, tenemos:
2x = 2(20) = 40 es la edad de A
Por tanto, la edad actual de A es 40 años y la edad actual de B es 20 años
Ejercicio 86-2. La edad de A es triple que la de B y dentro de 5 años será el doble. Hallar las edades actuales.
Ejercicio 86-2. Solución:
Sea x la edad actual de B
La edad de A es el triple que la de B, entonces 3x es la edad actual de A
Dentro de 5 años la edad de A será 3x + 5 y la edad de B x + 5
Además, el problema nos indica que dentro de 5 años la edad de A será el doble de la de B, es decir:
3x + 5 = 2(x + 5)
Resolviendo la anterior ecuación, tenemos:
Reemplazando x = 5 en 3x, tenemos:
3x = 3(5) = 15 es la edad actual de A
Por tanto, la edad actual de A es 15 años y la edad actual de B es 5 años
Ejercicio 86-3. A tiene doble dinero que B. Si A pierde $10 y B pierde $5, A tendrá $20 más que B. ¿Cuánto tiene cada uno?
Ejercicio 86-3. Solución:
Sea x el dinero que tiene B
Como A tiene doble dinero que B, entonces 2x es el dinero que tiene B
Si A pierde $10, entonces: 2x - 10 es lo que tiene A
Si B pierde $5, entonces: x - 5 es lo que tiene B
El problema indica que si A pierde $10 y B pierde $5, A tendrá $20 más que B, entonces:
2x - 10 = (x - 5) + 20
Resolviendo la anterior ecuación, tenemos:
Reemplazando x = 25 en 2x, tenemos:
2x = 2(25) = 50 es lo que tiene A
Por tanto, A tiene $50 y B tiene $25
Ejercicio 86-4. A tiene la mitad de lo que tiene B. Si A gana 66 colones y B pierde 90, A tendrá el doble de lo que le quede a B. ¿Cuánto tiene cada uno?
Ejercicio 86-4. Solución:
Sea x lo que tiene A
Si A tiene la mitad de lo que tiene B, entonces B tiene el doble de lo que tiene A, es decir: 2x es lo que tiene B
Si A gana 66 colones, entonces x + 66 es lo que tiene A y si B pierde 90, entonces 2x - 90 es lo que tiene B
El problema indica que, si A gana 66 colones y B pierde 90, A tendrá el doble de lo que le quede a B, es decir:
x + 66 = 2(2x - 90)
Resolviendo la anterior ecuación, tenemos:
Reemplazando x = 82 en 2x, tenemos:
2x = 2(82) = 164 es lo que tiene B
Por tanto: A tiene 82 colones y B tiene 164 colones
Ejercicio 86-5. En una clase el número de señoritas es 1/3 del número de varones. Si ingresaran 20 señoritas y dejaran de asistir 10 varones, habría 6 señoritas mas que varones. ¿Cuántos varones hay y cuantas señoritas?
Ejercicio 86-5. Solución:
Sea x la cantidad de señoritas
Si la cantidad de señoritas es 1/3 del número de varones, entonces el número de varones es tres veces el número de señoritas, es decir: 3x es la cantidad de varones.
Si ingresaran 20 señoritas, entonces x + 20 es la cantidad de señoritas
Si dejaran de asistir 10 varones, entonces 3x - 10 es la cantidad de varones
El problema indica que, si ingresaran 20 señoritas y dejaran de asistir 10 varones, habría 6 señoritas más que varones, es decir:
x + 20 = (3x - 10) + 6
Resolviendo la anterior ecuación, tenemos:
Reemplazando x = 12 en 3x, tenemos:
3x = 3(12) = 36 es la cantidad de varones
Por tanto, en la clase hay 12 señoritas y 36 varones
Ejercicio 86-6. La edad de un padre es el triple de la edad de su hijo. La edad que tenía el padre hace 5 años era el doble de la edad que tendrá su hijo dentro de 10 años. Hallar las edades actuales.
Ejercicio 86-6. Solución:
Sea x la edad actual del hijo
Como la edad del padre es el triple de la de su hijo, entonces, 3x es la edad actual del padre.
La edad que tenía el padre hace 5 años es 3x - 5
La edad que tendrá el hijo dentro de 10 años es x + 10
El problema indica que la edad que tenía el padre hace 5 años era el doble de la edad que tendrá su hijo dentro de 10 años, es decir:
3x - 5 = 2(x + 10)
Resolviendo la anterior ecuación, tenemos:
Reemplazando x = 25 en 3x, tenemos:
3x = 3(25) = 75 es la edad actual del padre
Por tanto, la edad actual que tiene el hijo es 25 años y la edad actual del padre es de 75 años
Ejercicio 86-7. La suma de dos números es 85 y el número menor aumentado en 36 equivalente al doble del mayor disminuido en 20. Hallar los números.
Ejercicio 86-7. Solución:
Sea x el número menor
Como la suma de los dos números es 85, entonces el número mayor es: 85 - x
El número menor aumentado en 36 es: x + 36
El doble del mayor disminuido en 20 es: 2(85 - x) - 20
El problema menciona que el número menor aumentado en 36 equivale al doble del mayor disminuido en 20, es decir:
x + 36 = 2(85 - x) - 20
Resolviendo la anterior ecuación, tenemos:
Reemplazando x = 38 en 85 - x, tenemos:
85 - x = 83 - 38 = 47 es el número mayor
Por tanto, el número menor es: 38 y el mayor es: 47
Ejercicio 86-8. Enrique tiene 5 veces lo que tiene su hermano. Si enrique le diera a su hermano 50 cts., ambos tendrían lo mismo. ¿Cuánto tiene cada uno?
Ejercicio 86-8. Solución:
Sea x lo que tiene el hermano de Enrique
Enrique tiene 5 veces lo que tiene su hermano, es decir: 5x
El problema plantea que si Enrique le diera a su hermano 50 cts. ($0,5) Ambos tendrían lo mismo, es decir:
5x - 0,5 = x + 0,5
Resolviendo la anterior ecuación, tenemos:
Reemplazando x = 0,25 en 5x, tenemos:
5x = 5(0,25) = 1,25 es lo que tiene Enrique
Por tanto, el hermano de Enrique tiene $0,25 y Enrique tiene $1,25
Ejercicio 86-9. Una persona tiene 1,400 sucres en dos bolsas. Si de la bolsa que tiene más dinero saca 200 y los pone en la otra bolsa, ambas tendrían igual cantidad de dinero. ¿Cuánto tiene cada bolsa?
Ejercicio 86-9. Solución:
Sea x la bolsa que tiene más dinero
Como la persona tiene 1,400 sucres en dos bolsas, la suma del dinero de las dos bolsas es 1,400 sucres, entonces 1,400 - x es la bolsa que tiene menos dinero
Si de la bolsa que tiene más dinero saca 200, entonces x - 200 es lo que tiene la bolsa con más dinero
Si pone 200 en la bolsa que tiene menos dinero, entonces (1,400 - x) + 200 es lo que tiene la bolsa con menos dinero
El problema indica que: si de la bolsa que tiene más dinero saca 200 y los pone en la otra bolsa, ambas tendrían igual cantidad de dinero, es decir:
x - 200 = (1,400 - x) + 200
Resolviendo la anterior ecuación, tenemos:
Reemplazando x = 900 en 1,400 - x, tenemos:
1,400 - x = 1,400 - 900 = 500
Por tanto, una bolsa tiene 900 sucres y la otra 500 sucres
Ejercicio 86-10. El número de días que ha trabajado Pedro es 4 veces el número de días que ha trabajado Enrique. Si Pedro hubiera trabajado 15 días menos y Enrique 21 días más, ambos habrían trabajado igual número de días. ¿Cuántos días trabajó cada uno?
Ejercicio 86-10. Solución:
Sea x el número de días que ha trabajado Enrique
El número de días que ha trabajado Pedro es 4 veces el número de días que ha trabajado Enrique, entonces: 4x es el número de días que ha trabajado Pedro
Si Pedro hubiera trabajado 15 días menos, entonces 4x - 15 es el número de días trabajados por Pedro
Si Enrique hubiera trabajado 21 días más, entonces x + 21 es el número de días trabajados por Enrique
El problema indica que: Si Pedro hubiera trabajado 15 días menos y Enrique 21 días más, ambos habrían trabajado igual número de días, es decir:
4x - 15 = x + 21
Resolviendo la anterior ecuación tenemos:
Reemplazando x = 12 en 4x, tenemos:
4x = 4(12) = 48 son los días que trabajó Pedro
Por tanto, Enrique trabajó 12 días y Pedro 48 días
Ejercicio 86-11. Hace 14 años la edad de un padre era el triple de la edad de su hijo y ahora es el doble. Hallar las edades respectivas hace 14 años.
Ejercicio 86-11. Solución:
Sea x la edad actual del hijo
2x es la edad actual del padre
La edad del padre hace 14 años es: 2x - 14
La edad del hijo hace 14 años es: x - 14
El problema indica que: hace 14 años la edad del padre era el triple de la edad de su hijo, es decir:
2x - 14 = 3(x - 14)
Resolviendo la anterior ecuación tenemos:
Reemplazando x = 28 en x - 14 y en 2x - 14, tenemos:
x - 14 = 28 - 14 = 14 es la edad del hijo hace 14 años
2x - 14 = 2(28) - 14 = 42 es la edad del padre hace 14 años
Por tanto, las edades del padre y del hijo hace 14 años son: Padre 42 años; Hijo 14 años
Ejercicio 86-12. Dentro de 22 años la edad de Juan será el doble de la de su hijo y actualmente es el triple. Hallar las edades actuales.
Ejercicio 86-12. Solución:
Sea x la edad actual del hijo
La edad actual de Juan es el triple de la de su hijo, es decir: 3x
La edad del hijo de juan en 22 años será: x + 22
La edad de Juan en 22 años será: 3x + 22
El problema indica que dentro de 22 años la edad de Juan será el doble de la de su hijo, es decir:
3x + 22 = 2(x + 22)
Resolviendo la anterior ecuación, tenemos:
Reemplazando x = 22 en 3x, tenemos:
3x = 3(22) = 66 es la edad actual de Juan
Por tanto, las edades actuales de Juan y su hijo son: Juan: 66 años ; Hijo: 22 años
Ejercicio 86-13. Entre A y B tienen $84. Si A gana $80 y B gana $4, A tendrá el triple de lo que tenga B. ¿Cuánto tiene cada uno?
Ejercicio 86-13. Solución:
Sea x lo que tiene B
Entre A y B tienen $84, es decir lo que tiene A más lo que tiene B suman $84, entonces:
84 - x es lo que tiene A
Si A gana $80, entonces (84 - x) + 80 es lo que tiene A
Si B gana $4, entonces x + 4 es lo que tiene B
El problema plantea: Si A gana $80 y B gana $4, A tendrá el triple de lo que tenga B, es decir:
(84 - x) + 80 = 3(x + 4)
Resolviendo la anterior ecuación, tenemos:
Reemplazando x = 38 en 84 - x, tenemos:
84 - x = 84 - 38 = 46 es lo que tiene A
Por tanto, A tiene $46 y B $38