Solucionario Ejercicio 83. de Algebra de Baldor.
PROBLEMAS SOBRE ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA.
EJERCICIO 83.
Las siguientes líneas e imágenes muestran paso a paso, como resolver los 14 problemas planteados en el Ejercicio 83.
Ejercicio 83-1. La edad de Pedro es el tripe de la edad de Juan y ambas edades suman 40 años. Hallar ambas edades.
Ejercicio 83-1. Solución:
Sea x la edad de Juan
La edad de Pedro es el triple de la edad de Juan, entonces:
Entonces 3x es la edad de Pedro
Además, ambas edades suman 40 años, es decir:
x + 3x = 40
Resolviendo la anterior ecuación, tenemos:
Reemplazamos x = 10 en 3x, entonces:
3x = 3(10) = 30 es la edad de Pedro
Por tanto, Juan tiene 10 años y Pedro 30 años
Ejercicio 83-2. Se ha comprado un caballo y sus arreos por $600. Si el caballo costó 4 veces los arreos, ¿Cuánto costó el caballo y cuanto los arreos?
Ejercicio 83-2. Solución:
Sea x el costo de los arreos
El costo del caballo es 4 veces los arreos, es decir: 4x es el costo del caballo
El costo total de la compra del caballo y sus arreos es $600, entonces:
x + 4x = 600
Resolvemos la anterior ecuación:
Reemplazando x = 120 en 4x, tenemos:
4x = 4(120) = 480 es el costo del caballo
Por tanto, el costo del caballo es $480 y el de los arreos es $120
Ejercicio 83-3. En un hotel de 2 pisos, hay 48 habitaciones. Si las habitaciones del segundo piso son la mitad de las del primero, ¿Cuántas habitaciones hay en cada piso?
Ejercicio 83-3. Solución:
Sea x la cantidad de habitaciones del primer piso
Entonces como las habitaciones del segundo piso son la mitad de las del primero, x/2 es la cantidad de habitaciones del segundo piso
Además, la cantidad total de habitaciones es de 48, por tanto:
x + x/2 = 48
Resolviendo la anterior ecuación tenemos:
Reemplazando x = 32 en x/2, tenemos:
x/2 = 32/2 = 16
Por tanto, el primer piso tiene 32 habitaciones y el segundo 16 habitaciones
Ejercicio 83-4. Repartir 300 colones entre A, B y C de modo que la parte de B sea doble que la de A y la de C el triple de la de A.
Ejercicio 83-4. Solución:
Sea x la parte de A, entonces la parte de B es 2x dado que es el doble de A y la parte de C es 3x dado que es el triple de A.
Como se están repartiendo 300 colones, entonces la suma de las partes de A, B y C deben ser iguales a 300, por tanto:
x + 2x + 3x = 300
Resolviendo la anterior ecuación, tenemos:
Reemplazando x = 50 en 2x y en 3x, tenemos:
2x = 2(50) = 100 es la parte de B
3x = 3(50) = 150 es la parte de C
Por tanto, A tiene 50 colones, B tiene 100 colones y C tiene 150 colones
Ejercicio 83-5. Repartir 133 sucres entre A, B y C de modo que la parte de A sea la mitad de la de B y la de C doble de la de B.
Ejercicio 83-5. Solución:
Sea x la parte de B, entonces la parte de A será x/2 dado que es la mitad de la de B y la parte de C es 2x dado que es el doble de la de B.
Al repartirse 133 sucres entre A, B y C, la suma de las partes debe sumar 133, entonces:
x + x/2 + 2x = 133
Resolviendo la anterior ecuación, tenemos:
Reemplazando x = 38 en x/2 y en 2x, tenemos:
x/2 = 38/2 = 19 es la parte de A
2x = 2(38) = 76 es la parte de C
Por tanto, A tiene 19 sucres, B tiene 38 sucres y C 76 sucres
Ejercicio 83-6. El mayor de dos números es 6 veces el menor y ambos números suman 147. Hallar los números
Ejercicio 83-6. Solución:
Sea x el número menor, entonces el número mayor es 6x por ser 6 veces mayor que el menor.
Además, ambos números suman 147, por tanto:
x + 6x = 147
Resolviendo la anterior ecuación, tenemos:
Reemplazando x = 21 en 6x, tenemos:
6x=6(21)=126 es el número mayor
Por tanto, el número menor es 21 y el número mayor es 126
Ejercicio 83-7. Repartir 140 quetzales A, B y C de modo que la parte de B sea la mitad de la de A y un cuarto de la de C.
Ejercicio 83-7. Solución:
Sea x la parte de B, entonces:
Si la parte de B es la mitad de A, entonces la parte de A es el doble de B; además si la parte de A es un cuarto de la parte de C, entonces la parte de C es cuatro veces la parte de B, es decir:
2x es la parte de A y 4x es la parte de C.
Como 140 quetzales es la cantidad repartida, la suma de las partes debe ser 140 quetzales, por tanto:
Reemplazamos x = 20 en 2x y en 4x, entonces:
2x = 2(20) = 40 es la parte de A
4x = 4(20) = 80 es la parte de C
Por tanto, la parte de A es 40 quetzales, de B 20 quetzales y de C 80 quetzales
Ejercicio 83-8. Dividir el número 850 en tres partes de modo que la primera sea el cuarto de la segunda y el quinto de la tercera.
Ejercicio 83-8. Solución:
Sea x la primera parte, entonces:
Como la primera parte es el cuarto de la segunda, la segunda será cuatro veces la primera; y si la parte de la primera es un quinto de la tercera, la tercera será cinco veces la primera, es decir:
4x es la segunda parte y
5x es la tercera parte
Como el número a dividir es 850, entonces la suma de las partes debe ser 850, entonces:
Reemplazando x = 85en 4x y en 5x, tenemos que:
4x = 4(85) = 340
5x = 5(85) = 425
Por tanto, la primera parte es 85, la segunda 340 y la tercera 425
Ejercicio 83-9. El doble de un número equivalente al número aumentado en 111. Hallar el número.
Ejercicio 83-9. Solución:
Sea x el número, entonces:
x + 111 es el número aumentado en 111
Además, el doble del número equivalente al número aumentado en 111 es:
2x = x + 111
Resolviendo la anterior ecuación, tenemos:
Entonces el número buscado es 111.
Ejercicio 83-10. La edad de María es el triple de la de Rosa más quince años y ambas edades suman 59 años. Hallar ambas edades.
Ejercicio 83-10. Solución:
Sea x la edad de Rosa, entonces:
Como la edad de María es el triple de la de Rosa más quince años, 3x + 15 es la edad de María
Además, ambas edades suman 59 años, entonces:
x + (3x + 15) = 59
Resolviendo la anterior ecuación tenemos:
Reemplazando x = 11 en 3x + 15, tenemos:
3(11) + 15 = 48
Por tanto, la edad de Rosa es 11 años y la de María es 48 años
Ejercicio 83-11. Si un número se multiplica por 8, el resultado es el número aumentado en 21. Hallar el número.
Ejercicio 83-11. Solución:
Sea x el número
El problema indica: "Si el número se multiplica por 8, el resultado es el número aumentado en 21", esto lo expresamos de la siguiente forma:
8x = x + 21
Resolviendo la anterior ecuación tenemos:
Entonces el número buscado es: 3.
Ejercicio 83-12. Si al triple de mi edad añado 7 años, tendría 100 años. ¿Qué edad tengo?
Ejercicio 83-12. Solución:
Sea x la edad que tengo, entonces:
“Si al triple de mi edad le añado 7 años tendría 100 años”, podemos escribirlo de la siguiente manera:
3x + 7 = 100
Resolviendo la anterior ecuación, tenemos:
Reemplazando x = 31 en 3x + 7 = 100, tenemos que:
3(31) + 7 = 100
100 = 100 la igualdad se cumple
Por tanto, la edad que tengo es 31 años.
Ejercicio 83-13. Dividir 96 en tres partes tales que la primera sea el triple de la segunda y la tercera igual a la suma de la primera y la segunda.
Ejercicio 83-13. Solución:
Sea x la segunda parte, entonces:
3x es la primera parte, por ser esta el triple de la segunda.
x + 3x es la tercera parte, por ser la suma de la primera y segunda.
Como el número dividido es 96 entonces la suma de las partes debe ser 96, por tanto:
3x + x + (x + 3x) = 96
Resolviendo la anterior ecuación tenemos:
Reemplazando x = 12 en 3x y en x + 3x, tenemos:
3x = 3(12) = 36
x + 3x = 12 + 3(12) = 48
Entonces la primera parte es 36 la segunda 12 y la tercera 48
Ejercicio 83-14. La edad de Enrique es la mitad de la de Pedro; la de Juan el triple de la de Enrique y la Eugenio el doble de la de Juan. Si las cuatro edades suman 132 años ¿Qué edad tiene cada uno?.
Ejercicio 83-14. Solución:
Sea x la edad de Enrique, entonces:
Como la edad de Enrique es la mitad de la Pedro, la edad de Pedro es el doble de la de Enrique, es decir: 2x
La edad de Juan es el triple de la edad de Enrique, es decir: 3(x)
La edad de Eugenio es el doble de la de Juan, es decir: 2(3x)
Como las cuatro edades suman 132 años, tenemos que:
x + 2x + 3x + (2(3x)) = 132
Resolviendo la anterior ecuación tenemos:
Reemplazando x = 11 en 2x, 3x y 2(3x), tenemos:
2x = 2(11) = 22
3x = 3(11) = 33
2(3x) = 2(3(11)) = 66
Entonces: Enrique tiene 11 años, Pedro 22 años, Juan 33 años y Eugenio 66 años