Solucionario Ejercicio 82. de Algebra de Baldor.
PROBLEMAS SOBRE ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA.
EJERCICIO 82.
Las siguientes líneas e imágenes muestran paso a paso, como resolver los 18 problemas planteados en el Ejercicio 82.
Ejercicio 82-1. La suma de dos números es 106 y el mayor excede al menor 8. Hallar los números.
Ejercicio 82-1. Solución:
Sea x el número menor
Entonces x + 8 es el número mayor
La suma de los dos números es 106, es decir:
x + (x + 8) = 106
Resolviendo la anterior ecuación, tenemos:
Sustituimos x = 49 en x + 8, entonces:
x + 8 = 49 + 8 = 57 es el número mayor
Entonces el número mayor es 57 y el menor 49
Ejercicio 82-2. La suma de dos números es 540 y su diferencia 32. Hallar los números.
Ejercicio 82-2. Solución:
Sea x el número menor
Entonces 540 - x es el número mayor
Como la diferencia de los dos números es 32, tenemos:
(540 - x) - x = 32
Resolvemos la anterior ecuación:
Reemplazando x = 254 en 540 - x, entonces:
540 - x = 540 - 254 = 286 es el número mayor
Por tanto, los números buscados son: 286 y 254
Ejercicio 82-3. Entre A y B, tienen 1,154 bolívares y B tiene 506 menos que A. ¿Cuánto tiene cada uno?.
Ejercicio 82-3. Solución:
Entre A y B tienen 1,154, entonces: A + B = 1,154
B tiene 506 menos que A, entonces: B = A - 506
Reemplazamos B = A - 506 en A + B = 1,154, entonces:
Reemplazando A = 830 en B = A - 506, tenemos:
B = A - 506 = 830 - 506 = 324
Por tanto, A tiene 830 bolívares y B tiene 324 bolivares
Ejercicio 82-4. Dividir el número 106 en dos partes tales que la mayor exceda a la menor en 24.
Ejercicio 82-4. Solución:
Sea x el número menor
El número mayor excede al menor en 24, es decir: x + 24 es el número mayor
Como el número a dividir en dos partes es 106, la suma de las partes debe ser igual a 106, entonces:
x + (x + 24) = 106
Resolviendo la anterior ecuación, tenemos:
Reemplazando x = 41 en x + 24, tenemos:
x + 24 = 41 + 24 = 65 es el número mayor
Entonces 106 se dividió en dos partes: el mayor es: 65 y el menor 41
Ejercicio 82-5. A tiene 14 años menos que B y ambas edades suman 56 años. ¿Qué edad tiene cada uno?
Ejercicio 82-5. Solución:
A tiene 14 años menos que B, entonces: A = B - 14
Ambas edades suman 56 años, entonces: A + B = 56
Reemplazando A = B - 14 en A + B = 56, tenemos:
Reemplazando B = 35 en A = B - 14, tenemos:
A = B - 14 = 35 - 14 = 21
Entonces A tiene 21 años y B tiene 35 años
Ejercicio 82-6. Repartir 1,080 nuevos soles entre A y B, de modo que A reciba 1,014 más que B.
Ejercicio 82-6. Solución:
Repartir 1,080 nuevos soles entre A y B, significa que: A + B = 1,080
Y que A reciba 1,014 más que B, es: A = B + 1,014
Entonces, reemplazando A=B+1,014 en A + B = 1,080, tenemos:
Reemplazamos B = 33 en A = B + 1,014, entonces:
A = B + 1,014 = 33 - 1,014 = 1,047
Entonces A recibe 1,047 nuevos soles y B recibe 33 nuevos soles
Ejercicio 82-7. Hallar dos números enteros consecutivos cuya suma sea 103.
Ejercicio 82-7. Solución:
Sea A el número menor, entonces A + 1 es el número mayor
Entonces como la suma de los dos números es 103, tenemos la siguiente ecuación:
Reemplazamos A = 51 en A + 1, entonces:
A + 1 = 51 + 1 = 52
Por tanto, los números enteros consecutivos que suman 103 son: 51 y 52
Ejercicio 82-8. Tres números consecutivos suman 204. Hallar los números.
Ejercicio 82-8. Solución:
Sea x el número menor
x + 1 el número intermedio
x + 2 el número mayor
Entonces como los tres números suman 204, tenemos:
x + (x + 1) + (x + 2) = 204
Resolviendo la anterior ecuación, tenemos:
Entonces: x = 67 es el número menor
x + 1 = 67 + 1 = 68 es el número intermedio
x + 2 = 67 + 2 = 69 es el número mayor
Por tanto, los números enteros consecutivos son: 67, 68 y 69
Ejercicio 82-9. Hallar cuatro números enteros consecutivos cuya suma sea 74.
Ejercicio 82-9. Solución:
Sea x el número menor
x + 1 el número consecutivo al anterior
x + 2 el número consecutivo al anterior
x + 3 el número mayor
Entonces como los cuatro números suman 74, tenemos:
Reemplazando x = 17 en x + 1, x + 2 y x + 3, tenemos:
x + 1 = 67 + 1 = 18 es el número intermedio
x + 2 = 67 + 2 = 19 es el número mayor
x + 3 = 67 + 3 = 20 es el número mayor
Por tanto, los cuatro números enteros consecutivos son: 17,18,19 y 20
Ejercicio 82-10. Hallar dos números enteros pares consecutivos cuya suma sea 194.
Ejercicio 82-10. Solución:
Sea 2x el primer número par
2x + 2 el segundo número par
Entonces como la suma de los dos números es 194, tenemos:
Reemplazando x = 48 en 2x y en 2x + 2, tenemos:
2x = 2(48) = 96
2x + 2 = 2(48) + 2 = 96 + 2 = 98
Por tanto, los dos números enteros pares consecutivos son: 96 y 98
Ejercicio 82-11. Hallar tres números enteros consecutivos cuya suma sea 186.
Ejercicio 82-11. Solución:
Sea x el número menor
x + 1 el número intermedio
x + 2 el número mayor
Entonces, como la suma de los tres números es 186, tenemos:
Reemplazando x = 61 en x + 1 y en x + 2, tenemos:
x + 1 = 61 + 1 = 62
x + 2 = 61 + 2 = 63
Por tanto, los números buscados son: 61, 62 y 63
Ejercicio 82-12. Pague $32,500 por un caballo, un coche y sus arreos. El caballo costó $8,000 más que el coche y los arreos $2,500 menos que el coche. Hallar los precios respectivos.
Ejercicio 82-12. Solución:
Sea x el precio del coche
x + 8,000 es el precio del caballo
x - 2,500 es el precio de los arreos
Como el precio total del caballo, coche y arreos es $32,500, entonces:
Reemplazando x = 9,000 en x + 8,000 y en x - 2,500, tenemos:
x + 8,000 = 9,000 + 8,000 = 17,000
x - 2,500 = 9,000 - 2,500 = 6,500
Por tanto:
9,000 es el precio del coche
17,000 es el precio del caballo
6,500 es el precio de los arreos
Ejercicio 82-13. La suma de tres números es 200. El mayor excede al del medio en 32 y al menor en 65. Hallar los números.
Ejercicio 82-13. Solución:
Sea x el número mayor
Como el número mayor excede al del medio en 32, entonces el del medio es 32 menos que el mayor, es decir:
x - 32 es el número del medio
De igual manera como el mayor excede al menor en 65, entonces el menor es 65 menos que el mayor, es decir:
x - 65 es el número menor
Como la suma de los tres números es 200, entonces:
Reemplazando x = 99 en x - 32 y en x - 65, tenemos:
x - 32 = 99 - 32 = 67 es el número del medio
x - 65 = 99 - 65 = 34 es el número menor
Por tanto: los números buscados son: 34, 67 y 99.
Ejercicio 82-14. Tres cestos contienen 575 manzanas. El primer cesto tiene 10 manzanas más que el segundo y 15 más que el tercero. ¿Cuántas manzanas hay en cada cesto?.
Ejercicio 82-14. Solución:
Sea x el primer cesto de manzanas
Como el primer cesto tiene 10 manzanas más que el segundo, entonces el segundo tiene 10 manzanas menos que el primer cesto, es decir:
x - 10 es el segundo cesto
Del mismo modo, como el primer cesto tiene 15 manzanas más que el tercer cesto, entonces el tercer cesto tiene 15 manzanas menos que el primer cesto, es decir:
x - 15 es el tercer cesto
Como los tres cestos contienen 575 manzanas, entonces:
Reemplazando x = 200 en x - 10 y en x - 15, tenemos:
x - 10 = 200 - 10 = 190
x - 15 = 200 - 15 = 185
Por tanto: el primer cesto tiene 200 manzanas, el segundo 190 manzanas y el tercer cesto 185 manzanas.
Ejercicio 82-15. Dividir 454 en tres partes sabiendo que la menor es 15 unidades menor que la del medio y 70 unidades menor que la mayor.
Ejercicio 82-15. Solución:
Sea x la parte menor
Sabiendo que la parte menor es 15 unidades menor que la del medio, esto significa que la parte del medio es 15 unidades más que la menor, es decir:
x + 15 es la parte del medio
Sabiendo que la parte menor es 70 unidades menor que la mayor, significa que la parte mayor es 70 unidades más que la menor, es decir:
x + 70 es la parte mayor
Como las tres partes suman 454, tenemos:
Reemplazando x = 123 en x + 15 y en x + 70, tenemos:
x + 15 = 123 + 15 = 138 es la parte del medio
x + 70 = 123 + 70 = 193 es la parte mayor
Por tanto: las tres partes están compuestas de 123, 138 y 193 unidades respectivamente.
Ejercicio 82-16. Repartir 3,100,000 sucres entre tres personas de modo que la segunda reciba 200,000 menos que la primera y 400,000 más que la tercera.
Ejercicio 82-16. Solución:
Sea x la cantidad que recibe la segunda persona
La segunda persona recibe 200,000 menos que la primera, significa que la primera recibe 200,000 más que la segunda, es decir:
x + 200,000 es la cantidad que recibe la primera persona
La segunda persona recibe 400,000 más que la tercera persona, significa que la tercera persona recibe 400,000 menos que la segunda persona, es decir:
x - 400,000 es la cantidad que recibe la tercera persona
Como las cantidades repartidas deben sumar 3,100,000 sucres, entonces:
Reemplazando x = 1,100,000 en x + 200,000 y en x - 400,000, tenemos:
x + 200,000 = 1,100,000 + 200,000 = 1,300,000 es lo que recibe la primera persona
x - 400,000 = 1,100,000 - 400,000 = 700,000 es lo que recibe la tercera persona
Por tanto:
1,300,000 es lo que recibe la primera persona
1,100,000 es lo que recibe la segunda persona
700,000 es lo que recibe la tercera persona
Ejercicio 82-17. La suma de las edades de tres personas es 88 años. La mayor tiene 20 años más que la menor y la del medio 18 años menos que la mayor. Hallar las edades respectivas.
Ejercicio 82-17. Solución:
Sea x la edad de la persona mayor
La mayor tiene 20 años más que la menor, significa que la menor tiene 20 años menos que la mayor, es decir:
x - 20 es la cantidad de años de la persona menor
La del medio tiene 18 años menos que la mayor, es decir:
x - 18 es la cantidad de años de la persona del medio
Como las edades de las tres personas suman 88 años, entonces:
Reemplazando x = 42 en x - 20 y en x - 18, tenemos:
x - 20 = 42 - 20 = 22 es la edad de la persona menor
x - 18 = 42 - 18 = 24 es la edad de la persona del medio
Por tanto:
22 es la edad de la persona menor
24 es la edad de la persona del medio
42 es la edad de la persona mayor
Ejercicio 82-18. Dividir 642 en dos partes tales que una exceda a la otra en 36.
Ejercicio 82-18. Solución:
Sea x la primera de las partes
x + 36 es la segunda parte
Como las dos partes deben sumar 642, entonces:
Reemplazando x = 303 en x + 36, tenemos:
x + 36 = 303 + 36 = 339
Por tanto, 642 se divide en dos partes:
Una de 303 unidades
Y la otra de 339 unidades