Progresiones Geométricas, Ecuaciones Trigonométricas

1. Se tiene una PA de 3 términos, al 3º término se le suma una cantidad desconocida y se convierte en PG, si a los 1º y 2º términos de la PG se les multiplica por esa cantidad desconocida y al 3º término se le adiciona la suma de los términos de la PA inicial, vuelve a formarse otra PA.  Sabiendo que la razón de este último es el triple de la cantidad desconocida, escribir la primera PA.

2. Hallar las soluciones principales de la ecuación trigonométrica:

3. Las edades de los tres hijos de José y Martha están en Progresión Aritmética y suman 15 y las edades de los tres hijos de Israel y María están en Progresión Geométrica y suman 13.  Sabiendo además que la razón de la progresión geométrica es el triple de la aritmética y que la suma de la edad del hijo mayor con la del hijo menor, en ambas familias, es la misma; encontrar las edades de los hijos de ambos esposos.


Solución del Ejercicio

(Use el desglose)




Solución:

De los datos del problema:

Igualando (1) y (5):

Reemplazando (5) y (6) en (3):

Igualando (2) y (4) en (3):

Reemplazando (5) y (7) en esta última ecuación:

Resolviendo:

Con:

Con:

Respuesta:

Hay dos posibilidades:

En este caso la razón es r=3

O bién:

En este caso la razón es r=3



Llevando a términos de coseno la ecuación:

Cambio de variable, para simplificar la expresión:

Entonces:

Factorizando por Ruffini:

Del cambio de variable:



Sean las progresiones:

Por las condiciones:

De 3:

Y de 2:

De 4:

Sustituyendo 1 en 4:

Luego como:

De aquí:

Luego las progresiones son:

P.A. 4, 5, 6   y   P.G. 1:3:9

Por lo tanto, las edades de los hijos de José y Martha son 4, 5 y 6 años y las de Israel y María son 1, 3 y 9 años.

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