1. Se tiene una PA de 3 términos, al 3º término se le suma una cantidad desconocida y se convierte en PG, si a los 1º y 2º términos de la PG se les multiplica por esa cantidad desconocida y al 3º término se le adiciona la suma de los términos de la PA inicial, vuelve a formarse otra PA. Sabiendo que la razón de este último es el triple de la cantidad desconocida, escribir la primera PA.
2. Hallar las soluciones principales de la ecuación trigonométrica:
3. Las edades de los tres hijos de José y Martha están en Progresión Aritmética y suman 15 y las edades de los tres hijos de Israel y María están en Progresión Geométrica y suman 13. Sabiendo además que la razón de la progresión geométrica es el triple de la aritmética y que la suma de la edad del hijo mayor con la del hijo menor, en ambas familias, es la misma; encontrar las edades de los hijos de ambos esposos.
Solución:
De los datos del problema:
Igualando (1) y (5):
Reemplazando (5) y (6) en (3):
Igualando (2) y (4) en (3):
Reemplazando (5) y (7) en esta última ecuación:
Resolviendo:
Con:
Con:
Respuesta:
Hay dos posibilidades:
En este caso la razón es r=3
O bién:
En este caso la razón es r=3
Llevando a términos de coseno la ecuación:
Cambio de variable, para simplificar la expresión:
Entonces:
Factorizando por Ruffini:
Del cambio de variable:
Sean las progresiones:
Por las condiciones:
De 3:
Y de 2:
De 4:
Sustituyendo 1 en 4:
Luego como:
De aquí:
Luego las progresiones son:
P.A. 4, 5, 6 y P.G. 1:3:9
Por lo tanto, las edades de los hijos de José y Martha son 4, 5 y 6 años y las de Israel y María son 1, 3 y 9 años.
1. Hallar las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos formados por las rectas:
2. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro sobre la recta 2x+y=0 y es tangente a las rectas 4x–3y+10=0, 4x–3y–30=0.
3. En la figura AB=BC=CD=DE, hallar el ángulo x:
1. Si en un triángulo cualquiera ABC de lados a, b y c se cumple 3a=7c y 3b=8c. Determinar el ángulo A.
2. Simplificar:
3. Resolver la siguiente ecuación, hallando las soluciones en la primera vuelta.
4. Resolver el sistema:
1. Demostrar la siguiente entidad trigonométrica:
2. Si a2+b2=1; calcular:
1. Resolver el sistema de ecuaciones:
2. Hallar tres números en progresión geométrica sabiendo que su suma es igual a 26 y que, si se suman respectivamente a ellos los números 1, 6 y 3 se obtienen tres números que están en progresión aritmética.
3. Determine el conjunto solución de:
1. Si:
Hallar: logb(a2 b2)
2. Se desea formar una torre de ladrillos de tal manera que se genere una progresión aritmética, si la cuarta fila tiene 27 ladrillos y la séptima fila tiene 27 ladrillos. ¿Cuántas filas se formarán con 210 ladrillos?
1. Resolver la siguiente ecuación trigonométrica
2. Demostrar la siguiente identidad:
3. Hallar las soluciones de:
1. Si m y n son raíces de la ecuación: x2-6x+c=0
Calcular el valor de:
2. Simplificar la siguiente expresión, si se sabe que: ab=ba
3. Resolver el siguiente sistema